1. 反馈

1.1 动态系统与反馈回路

动态系统的内部状态随时间演化。状态可以是位置和速度、房间温度或电容电荷；在给定模型下，当前状态与后续输入共同决定未来的运动。过去作用积累在状态中，使动态系统具有“记忆”。

静态关系如 y=kuy=ku 只描述当前输入与输出的对应。动态过程还包含响应所需的时间：打开暖气后，室温不会立即达到目标；受蓄热和传热过程影响，关闭暖气后也可能继续升温。因此，输入不变时状态仍可能变化；到达平衡后，动态系统也可以保持状态不变。

反馈把实际输出或状态的信息返回，使其参与后续控制：控制作用改变状态，测量反映状态变化，控制器再据此调整作用。按是否利用这条返回路径，可以区分开环与闭环控制。开环也有输入，可以使用已知命令或测得的扰动；闭环则进一步利用被控输出或状态的信息。

反馈信息通常经过测量和控制器处理，不是把输出原样接回输入。反馈也可用静态关系描述，但稳定性、振荡和响应速度等问题需要考虑回路随时间的演化。

1.2 闭环的整体行为

反馈使各环节相互影响：输入改变输出，输出又改变后续输入。因此，局部作用方向不能单独决定整体行为，需要同时考虑各环节的关系及惯性、积累和延迟。

调节洗澡水温就是一个例子。增加热水后，变化需要一段时间才能被感知；若因水仍偏冷而继续加热，之前的调整陆续生效后就可能使水过热。随后连续反向调整，又可能使水过冷。每次动作都在纠偏，整体却出现振荡。增强控制也有类似取舍：响应可能加快，超调和振荡也可能加重。

分析闭环时，需要明确模型和假设，确定输入、状态、输出、扰动及测量的关系，再判断平衡、稳定性和响应性能，并通过仿真、实验检查模型误差与实际限制。

1.3 正反馈与负反馈

负反馈利用返回的信息抵消偏差。以比例控制为例：

e=r−y,u=Ke,K>0.e=r-y,\qquad u=Ke,\qquad K>0.

若增大 uu 会使 yy 增大，则输出偏低时控制作用增加，输出偏高时控制作用减小。正反馈则进一步增强原有变化，可用于再生放大、开关切换或形成双稳态。

正负反馈描述作用方向，不能单凭符号判断稳定性。负反馈可能因动态滞后或增益过大而失稳；正反馈也不必然失稳。饱和等非线性因素可以限制变化幅度，但不保证系统返回原平衡点，也可能使其转入另一状态或持续振荡。

1.4 反馈的作用与限制

反馈可以抑制扰动、降低对内部参数变化的敏感性、跟踪目标，并调整响应速度和阻尼。例如，位置偏离时施加指向目标的作用，可以使物体返回；但惯性可能使它反复越过目标，加入速度反馈提供阻尼，有助于使运动逐渐衰减。及时利用位置和速度信息调节支撑点，还可以稳定原本不稳定的倒立摆。

减小偏差与使偏差归零是不同要求。恒定负载下，比例控制往往要保留一定偏差，才能产生抵抗负载的力。积分控制累积误差，在闭环稳定且执行器能力足够时，可以消除固定目标和某些持续扰动引起的稳态误差；它也会引入新的动态特性，须一并考虑稳定性与饱和。

负反馈还可减小非线性失真。设部件的静态关系为 y=f(u)y=f(u)，采用 u=K(r−y)u=K(r-y)。在可微且局部关系成立的工作点附近，对 rr 求导可得

dydr=Kf′(u)(1−dydr),dydr=Kf′(u)1+Kf′(u).\frac{dy}{dr}=Kf'(u)\left(1-\frac{dy}{dr}\right), \qquad \frac{dy}{dr}=\frac{Kf'(u)}{1+Kf'(u)}.

若响应方向正确、未发生饱和，且局部环路增益 Kf′(u)Kf'(u) 很大并为正，整体斜率就接近 11。此时很小的误差可产生所需控制作用，使 y≈ry\approx r，整体关系对部件局部斜率的变化不再那么敏感。内部部件仍是非线性的，近似线性跟踪只在满足条件的工作范围内成立。

饱和、死区或响应方向改变都可能破坏这种效果；真实动态系统还须保证闭环稳定，不能无限增大增益。这与利用模型进行非线性补偿的“反馈线性化”方法有所区别。

抗扰和降低参数敏感性同样来自持续修正实际偏差，因此不必预先知道每个扰动的来源。不过，这些能力受稳定性、带宽和执行器限制约束；更快的跟踪通常需要更大的控制作用，也可能增加噪声影响或降低对延迟的容忍度。

1.5 动态不稳定与测量噪声

惯性和时延可能使纠正动作在系统越过目标后才生效，反而扩大偏离。如同对摆动物体施力，时机合适时会消耗能量，时机不当时却会持续补充能量。

振荡不等同于不稳定：衰减振荡趋于平衡，持续振荡维持幅度，增长振荡则不断扩大。执行器饱和或机械限位可以限制部分量的幅度，却未必恢复稳定，还可能造成持续振荡、性能下降或设备损坏。

反馈也建立了测量噪声影响控制的通道。若测量值为 ym=y+ny_m=y+n，比例控制为

u=K(r−ym)=K(r−y−n).u=K(r-y_m)=K(r-y-n).

即使真实输出已达到目标，测量值的跳动仍会引起额外动作。例如，温度稳定时，传感器交替报告偏高和偏低，会使加热功率反复调整。反馈未必产生噪声，却可能将噪声传递到执行器和实际输出。

这种影响与频率有关。较高增益和较大带宽可能增强某些频段的噪声响应，微分作用尤其容易放大高频噪声。滤波虽能减轻噪声，也可能增加滞后，因此须综合考虑跟踪、抗扰、噪声抑制与稳定性。

1.6 分析方法

不同分析工具关注不同问题：

  • 平衡与稳定性：先求状态不再变化的条件，再判断附近运动能否保持接近平衡点；渐近稳定还要求最终返回。局部线性化后的特征值、极点可用于分析局部行为，Lyapunov 方法则通过状态函数的变化研究稳定性，尤其适用于非线性系统。
  • 瞬态与稳态：微分方程、状态空间模型和阶跃响应描述响应速度、超调、振荡及调节时间；极点和阻尼解释响应形态。稳态分析关注最终误差，满足适用条件时可使用终值定理。
  • 频率响应：Bode 图、Nyquist 判据和稳定裕度用于分析增益、相位及延迟的影响；灵敏度与互补灵敏度函数用于分析跟踪、扰动、噪声及模型变化，为带宽和滤波设计提供依据。
  • 模型不确定性与非线性限制：鲁棒稳定性关注给定不确定性范围内的稳定性。参数扫描和仿真可检查多种工况，但有限仿真不能代替完整证明；饱和、死区等还需非线性分析与实验。积分在饱和时继续积累，可能使恢复缓慢或超调加重，需要抗积分饱和设计。

2. 前馈

2.1 扰动测量与补偿

前馈根据参考信号、可测扰动和过程模型计算控制作用，这条路径不利用实际输出的反馈。输出反馈需观察到实际偏差后才能针对它校正；扰动前馈则可在扰动明显影响输出之前获得信息并计算补偿。

设控制作用 uu 与扰动 vv 在过程入口直接相加，没有扰动时所需输入为 u0u_0。理想补偿为

u=u0−v,u+v=(u0−v)+v=u0.u=u_0-v,\qquad u+v=(u_0-v)+v=u_0.

扰动仍实际作用于过程，但控制器根据测量信息产生相反作用，使总输入保持为 u0u_0。框图中 vv 同时进入控制器和过程，分别表示信息路径与作用路径。

直接取 −v-v 依赖同一入口的加性模型。若扰动与控制经过不同路径或动态环节，就要按各自影响计算补偿，并匹配变化时机。测量误差、延迟、模型偏差和执行器限制都会使抵消不完整。

2.2 参考信号与过程输入

参考前馈计算实现目标所需的基本输入，扰动前馈补偿可测扰动，两者可以组合。以静态过程为例：

y=2(u+v).y=2(u+v).

为了使 y=ry=r，可取

u=r2−v.u=\frac{r}{2}-v.

其中 r/2r/2 来自目标和过程模型，−v-v 用于补偿扰动。若 r=10r=10、v=1v=1，则 u=4u=4，总输入为 55，输出为 1010。计算使用了参考、扰动和模型，没有使用实际输出。

动态过程还涉及初始状态、作用持续时间和响应过程。参考信号可用于预先规划输入，或通过整形避免激发不希望的动态响应；存在时延、输入限制或无法稳定实现的逆关系时，不能靠简单求逆得到任意目标输出。

2.3 模型依赖与反馈配合

前馈依赖模型准确预测动作效果。若上述真实过程为 y=1.8(u+v)y=1.8(u+v)，控制器仍按 u=r/2−vu=r/2-v 计算，则同样条件下输出只有 99。由于实际输出没有参与修正，原有前馈计算无法纠正这一偏差。

前馈与反馈可共同使用：前馈根据目标和可测扰动提供基本作用，反馈根据实际输出补偿模型偏差、未测扰动等造成的剩余误差。组合后仍需统一分析稳定性、噪声与执行器限制。

“反馈不测扰动、前馈不测输出”只是两种基本结构的对照，不能作为实际系统的绝对划分。判断是否存在反馈，要看实际结果是否参与控制调整；传感器若只用于显示或记录，并不形成反馈路径。

2.4 反应式调节与计划式作用

在决策场景中，反馈可类比为根据实际结果进行调整，前馈可类比为依据预测规划动作。例如，商店根据预计客流安排进货，体现前馈；根据实际库存不足增加补货，体现反馈。库存偏低可用差值、阈值或经验规则判断，不要求显式计算数值误差。

这里的“计划”可以是一条简单计算规则，也可以是预测与优化过程，并不意味着固定不变或长期安排。前馈可以实时更新，反馈也可以迅速、自动且具有明确目标，区别仍在信息来源。

市场中的价格、库存、交易和利润影响后续决策，体现反馈；依据需求预测和资源模型安排生产，体现前馈式规划。但不能据此把市场经济与计划经济严格划成纯反馈或纯前馈：市场参与者也会预测，计划也可依据执行结果修订。分析具体系统时，仍须明确边界和信息路径。

3. 控制

3.1 控制与反馈回路

控制利用可获得的信息选择作用，使系统按期望的方式运行。反馈控制通过感测获取实际结果，通过计算决定如何调整，再由执行器影响被控过程；新的结果继续参与后续调整。这条回路把“了解实际情况”与“改变实际情况”连接起来，因此是反馈控制的核心结构。

以汽车定速巡航为例，传感器测量车速，控制器根据目标与实际车速的差异调整驱动力，车辆随之加速或减速。坡度、风力等会改变动作效果，持续反馈使控制器能据实际结果修正作用。

流程图 目标车速 计算控制器 执行动力系统 感测车速测量 被控过程车辆运动 坡度、风力等扰动

感测、计算和执行描述的是功能，可以由机械机构、电路或程序实现；传感器若只用于显示而不参与调整，就没有形成这条反馈回路。设计时需保证闭环稳定，并进一步满足跟踪精度、抗扰和响应速度等要求，同时考虑执行器的能力限制。

3.2 控制律

计算控制作用的规则称为控制律（control law）。例如，令目标车速为 rr、测量车速为 ymy_m，可用比例控制计算驱动力 uu：

u=K(r−ym),K>0.u=K(r-y_m),\qquad K>0.

车速低于目标时增加驱动力，高于目标时减小或反向施力；实际动作受车辆驱动和制动能力约束。更一般的控制律还可利用过去的测量、误差积累或状态估计。模型用于理解动作效果、设计控制律和分析闭环行为；简单控制器运行时只需执行既定规则，不必每次重新求解模型。

3.3 子系统交互与输入—输出模型

子系统是整体中的一个部分，例如控制器、动力系统和传感器。输入—输出建模明确各部分通过什么量相互影响：车速是车辆运动的输出，也是传感器的输入；测量值传给控制器，控制器的指令再传给动力系统。同一个量可以是一个部分的输出、另一个部分的输入。

写清各部分的响应规律和连接关系，就能分析整体行为。例如，上坡使车速下降，测量值随之改变，控制器便增加驱动力；能否恢复车速、需要多久，要结合整条回路判断。这种建模方法也用于其他学科，控制中特别关注如何选择控制作用与连接方式，使整体达到预期性能。